El maravilloso mundo de la ciencia : El mundo geométrico: Razones trigonométricas

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y ángulos de cualquier triángulo. Desde hace más de 300 años los babilonios y los egipcios fueron los primeros en utilizar los ángulos y las razones trigonométricas para efectuar medidas en la agricultura, así como para la construcción de pirámides.

Etimológicamente la palabra trigonometría significa medida de los triángulos con las raíces griegas (trígono) triángulo y metron (medida).

(Garrido Méndez Misael. 2015), menciona que algunos puntos importantes para entender el comportamiento de las funciones trigonométricas son:

1. Un triángulo rectángulo tiene dos lados perpendiculares entre sí: a y b, que forman un ángulo recto (cuya medida es de 90°). Estos lados se denominan catetos del triángulo.

2. El tercer lado: c, opuesto al ángulo recto, se denomina hipotenusa del triángulo y su medida es mayor que la de los catetos.
3. Los triángulos rectángulos tienen un ángulo interior de 90° y dos ángulos agudos complementarios (suman 90°).
4. Para cualquiera de los ángulos agudos, un cateto es opuesto y el otro cateto es adyacente:
Para αA: el cateto a es opuesto y el cateto b es adyacente.
Para αB: el cateto b es opuesto y el cateto a es adyacente.
5. Los lados se relacionan mediante el teorema de Pitágoras, que enuncia que “la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”

Los catetos se nombran según el ángulo agudo que se utilicen, recordemos que una razón trigonométrica esta en función del ángulo.

Se denomina una razón trigonométrica cuando existe una relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo. Las razones trigonométricas más importantes son; seno, coseno y tangente.

Las funciones naturales directas del ángulo son:

Seno.- es la longitud de una semicuerda de una circunferencia de radio uno

Coseno.- complemento de una semicuerda en una circunferencia de radio igual a uno.

Tangente.- Recta que toca en un solo punto a una circunferencia de radio igual a uno.

Seno de un ángulo.- es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa

Coseno de un ángulo.- es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa

Tangente de un ángulo.- es la razón entre el cateo opuesto y el cateto adyacente

Las funciones naturales recíprocas del ángulo son:

Cotangente de un ángulo.- es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto

Secante de un ángulo.- es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente

Cosecante de un ángulo.- es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto

De a cuerdo con (Aguilar Márquez Arturo, et al. 2009), sí un triángulo rectángulo se ubica en el plano cartesiano, de manera que uno de sus catetos coincida con el eje horizontal, las funciones trigonométricas tendrán un signo dependiendo del cuadrante sobre el cual se encuentre dicho triángulo, como se muestra a continuación:

Signo de las funciones trigonométricas en un plano cartesiano.

Fuente: Aguilar Márquez Arturo, et al.2009

Tabla de signos en una función trigonométrica de acuerdo a cada cuadrante en un plano cartesiano.

Fuente: Aguilar Márquez Arturo, et al.2009.

Valor.- dada una función trigonométrica de un ángulo agudo se

pueden determinar las demás funciones a partir de la construcción de un triángulo rectángulo y el empleo del teorema de Pitágoras, ejemplo:

1.- Si Ө es agudo y cosӨ =3/4 calcula los valores de las funciones trigonométricas para Ө

Solución: se construye un triángulo rectángulo, donde Ө es uno de los ángulos agudos, la hipotenusa es 4 y el cateto adyacente es 3. Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular el lado restante.